ლევან მოსეშვილმა „დინამოს“ შემადგენლობაში პირველი მატჩი 1959 წელს გამართა და გუნდის ღირსებას 13 წლის განმავლობაში იცავდა.

1962 წელს ლევან მოსეშვილმა თანაგუნდელებთან ერთად ევროპის ჩემპიონთა თასი მოიგო.

1968 წელს კი „დინამო“ საბჭოთა კავშირის ჩემპიონის ტიტულის მფლობელი გახდა, ხოლო 1969 წელს საბჭოთა კავშირის თასი დაისაკუთრა.

ლევან მოსეშვილი „დინამოში“ 3-ჯერ საკავშირო პირველობის ვიცე – ჩემპიონი და ერთხელ ბრინჯაოს მედლის მფლობელი გახდა.

ლევან მოსეშვილმა 1964 წელს საბჭოთა კავშირის ნაკრების შემადგენლობაში ტოკიოს ოლიმპიური თამაშების ვერცხლის მედალი მოიპოვა.

საკალათბურთო კარიერის დასრულების შემდეგ ლევან მოსეშვილი 1972–2003 „დინამოს“ მთავარ მწვრთნელად მოღვაწეობდა. მისი ხელმძღვანელობით გუნდმა 1977 წელს საკავშირო პირველობაზე მესამე ადგილი დაიკავა.
ლევან მოსეშვილი ღირსების ორდენის კავალერია, 2012 წელს მას სპორტის რაინდის წოდება მიენიჭა.
დიდებული კალათბურთელი 2015 წელს საქართველოს ოლიმპიური კომიტეტის მედლით დააჯილდოვეს.

ლევან მოსეშვილი 79 წლის ასაკში 2020 წლის 5 მარტს გარდაიცვალა.

ლევან მოსეშვილი იყო:

ოლიმპიადის ვიცე-ჩემპიონი: 1964

ევროპის ჩემპიონთა თასი: 1962

სსრკ ჩემპიონი: 1968

სსრკ ვიცე-ჩემპიონი: 1960, 1961, 1969

სსრკ ჩემპიონატის ბრინჯაოს პრიზიორი: 1965

სსრკ თასი: 1969

სსრკ ხალხთა სპარტაკიადის ვიცე-ჩემპიონი: 1959

სპორტის რაინდი — 2012

საქართველოს ეროვნული ოლიმპიური კომიტეტის მედალი — 2015

სსრკ სპორტის დამსახურებული ოსტატი